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什么是庞加莱猜想：庞加莱猜想是法国数学家庞加莱在1904年提出的。其内容是：
“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。” 简单的说就是：任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有的封闭线条都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。如果一个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点，那么这个空间一定是三维圆球。 描述如果你认为以上这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：
想象一个球状房子，或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以。这个气球不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。
现在继续吹大这个汽球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
补充庞加莱猜想的证明意义重大。该猜想的证明，凝结了中国五六个科学家的贡献，是人类在三维空间研究角度解决的第一个难题，也是一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
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