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答案 1：
看是什么样的数学研究了。初级（以及早期）的数学研究主要算「发现」吧。好比我画了好多三角形后「发现」它们的内角和都是 180 度。不是知乎上还有人要发明「负自然数」么 [0]，严格地说来，这种发明只要能定义完备并且自圆其说，总归是可以成立的。只是它有何意义，以及能不能吸引他人来找它的意义，那又是另外一回事了。高级的数学研究既不是发现也不是发明。简单地想来，有点象被人拎着去摩天轮上转很多圈儿，下来之后发现自己脚不必动，大地在绕着你转。大家都知道，这就是惯性。做任何「高级」一点的研究，少说熟读 N 本书，理解其中所有证明，然后趁那劲头还在，捉摸找个自己能做得出来的题目来做，这也是做数学的惯性使然。至于找题的过程，勉强算是「发现」，可这绝对要依赖强大的数学基础才可能成功——否则不是只能找到别人已经证过的，就是花好几年功夫无功而返。这是为什么博士生需要一位导师。整个找题的过程有点象 trial and error，不断尝试，即使功力很深，也颇有偶然性。说两个例子。Andrew Wiles[1] 象他那样十岁就迷上费马大定理、等后来时机成熟就自招人马花整七年时间去做证明，那是个特大号的例外。他那也是奇迹般得到普林斯顿校方支持才有可能成功的。当时事情出来，多少数学系教授不禁长叹，「即便我有这个魄力，我们系也不会同意的啊。」如果你去看他证明费马定理的过程，就会明白那是基于强大的直觉，来自他个人的数学功底以及对自己直觉的坚信（again，这坚信也来自数学能力）。这种研究称不上是「发现」或者「发明」，证明的反正是老祖宗费马的定理。可是有个很强大的 by-product：伴随这个定理证明成形的 Modularity T-eorem [2]，早已经成了这些年来数论上的热门话题。如此说来，Modularity T-eorem 倒算得上是一个「发明」了。Paul Erd?s[3] 1985 年他被邀请去一个儿童夏令营讲话，开头就说道You -y not believe in God, but you must belive in T-e Book.「你可以不相信上帝，可你必须相信那本书。」在Erd?s 看来，所有的数学定理都来自「那本书」[4]，那是一本天书，里面写满了所有数学定理最美妙的证明。所有数学家所能做的，不过是去那本书里找到自己想要的答案。从这个意义上来说，数学研究，至少在Erd?s那里，是一个「发现」的过程。[0]z-i-u/question...[1]en.-.org/wiki...[2]en.-.org/wiki...[3]en.-.org/wiki...[4]en.-.org/wiki...Disclaimer:To tell t-e trut-, t-is question is not for -t-e-ticians to answer, for -t-e-ticians can not -ave suc- an oversimplified vision of w-at -t-e-tics is. I"m no -t-e-tician, but I wouldn"t -ave written t-is answer if not for t-is problem to be answer in all sorts of ways t-at are far from being acceptable in my opinion. My answer is of course neit-er complete nor t-oroug-. T-ere"s just no way to be t-oroug-. I simply was writing it down in an effort not to mislead t-e public views about w-at -t- is.答案 2：
作为一个数学系的学生，我认为数学既有发现成分也有发明成分。从公理上谈，比如三角形两边之和大于第三边，这可以称之为是被发现的公理；而公理化集合论、概率论等被公理化了的理论体系，里面的基础公理很多都是数学家的发明，目前还没有办法通过其他角度的现实或理论证明。从方法上谈，现在在计算机领域应用很广的傅里叶分析、小波分析等内容我认为就是伟大的数学家们挥洒聪明才智的结晶了。最后胡吹一点，我认为数学是被人类发明来表示我们发现的真理以及我们发明的定律的科学。资历尚浅只吃了20年的米饭，还请多多评点。答案 3：
对理论的研究，由对自然的观察和推理得到规律，现象的过程是发现。运用已经得到的理论作为一种工具，为了满足人的需要（儒学），找到解决实际问题的方法的过程是发明。综上所述，数学的研究既有发明的部分，也有发现的部分，但最终都要转化成发明才能被人利用。答案 4：
发现，存在于柏拉图的理念世界。人类从未创造过任何东西，一切都是发现。答案 5：
发明。数学是人类研究自然的一个工具。是人类发明的，数学中的公理性质是自然界存在并且通过数学分析得到的。不是数学本身。数学不是数字，也不是定理，是借助数字和定理进行推理分析的一种方式答案 6：
发现的过程。古希腊将数学的学习列为哲学学习的一个必修的功课和途径，其目的在于发现哲学家们所追寻的宇宙及万物内在的理性。可参照牛顿《自然哲学的数学原理》。答案 7：
一楼说的很中肯，初期当然是发现的过程~当数学发展到一定阶段的时候，基本上就是一个发明的过程了~比如说拓扑学还有近世代数，里面的很多东西都是非常抽象的，如果硬生生的说是发现过程好像不是很合理吧~就比如一个简单的例子：Klein瓶；这是一个在四维空间中才能看到的东西~画在三维空间里是非常扭曲的~有谁能在日常的三维空间里发现四维空间的东西？再者，自然界也不可能存在复数吧~如果这也算是发现，那么复变函数理论就不能定义成发现了把？答案 8：
早起的数学确实可以说是发现的过程，但现在比较前沿的数学，感觉更偏重于发明，比如-空间最早就是数学提出的，当时也就是发明出来解决某些问题，到现在为止，物理上-空间时候存在也是一个未解之谜。个人感觉，“发现”偏向于通过观察然后总结出某种规律，而在现实生活中，像-空间这种东西，尤其对数学家来说几乎是不可观察的。答案 9：
例如，我们说1，这个1并不是偶然的人为符号，他是自然界客观存在的，而思维使用1表现了这个存在，当然这个需要证明。也就是说我们总结的这些思维规律，符号，原理，等等，这些是纯粹的精神活动，还是本就客观存在。黑格尔将理性分为客观理性(思维)和主观理性()，并试图用辩证法证明这个客观理性和主观理性是具有一致性的，可以作为参考。从这个意义上来说，数学应该是一个发现的过程，而利用数学原理发明了圆规算一个发明。数学的这个发现过程，将隐含的显示化，规律化，文字化，系统化。而这个系统确实存在，并不因你的没有发现而不存在，而如果没有发明圆规，则圆规就不存在。答案 10：
我觉得这问题的根本在于你怎样理解世界，正如被转向的那个问题所言，是主观和客观之分。先反驳一点，作为外行我不认为初期和高级的数学研究在这个问题上有什么不同。数学不是实验科学；它从起源上就已经是日常生活的抽象化了，我们无法在现实世界中找到没有大小的点、没有宽度的线，也无法表述数字的概念。之前有人用高维空间举例，但严格来说现实世界中三角形也是不存在的，初级与高级数学只是在直观程度上不同。严整的数学体系建立在逻辑推理之上，所以三角形内角和定理的确立并不取决于多次观察测量的结果，而取决于基于欧氏几何的五条公设作出的证明。剩下的问题就是：这些理论多大程度上是客观规律，多大程度上受主观思考模式主宰？初级数学之所以倾向于被视为“发现”，除了直观性之外大概还有学派单一的原因，不同数学家有点殊途同归的味道。非欧几何的出现在这两点上都是突破，之后数学研究范围日益宽广，方法角度日益丰富，确实如@vieplivee所说，只要能够自圆其说的理论都可以成立，好像带了更多“发明”的色彩。而我觉得“发明”与“发现”都欠妥，但数学方法本身没有经过本质上的改变。答案 11：
数学是数学家，或者更广义的说是理工类科学家写的“文章”。这与文学家写文章或者音乐家写的文章（乐曲）异曲同工，都是对世界的描述（注意：这里是描述或者阐释）而已，角度和方法不同。因为世界不是我们造的（谁造的我们暂不讨论），所以我们很难确定性的了解造物主是按照什么规则创造的。但是这并不表明我们没法对这个世界进行认识和理解，所以我们创造了各种解释世界的理论，而且不断补充发展，而数学就是其中强有力的一支。从这种角度上说，貌似数学是一种“创造”。但是，试想我们之所以能创造处这些理论来这是由于我们的构造（大脑构造，各种进化理论等等）决定的，而这些决定我们创造这些解释世界理论的关键因素确实造物主给我们的，所以，数学等也只是我们是在发现自身的能力而已。一言概之－－文章本天成，妙手偶得之。答案 12：
这取决于你如何认识数学世界，如果你认为他们是实体，原本就存在，可以说是发现，否则是发明。答案 13：
这个问题确实要根据不同角度来分析，像高斯等一些老的数学家，他们就认为是发现的，他们认为这些定理本来就存在；我个人偏向是发明的。答案 14：
前面靠直觉的部分可以说是发现，比如欧几里得空间，后面不太直觉上明晰的就算是发明吧。发明和发现两个词的意思在自然科学领域的区别不是很大。答案 15：
数学规律是被发现的； 数学工具是被创造的。答案 16：
发现是指本来就有，但是没人知道,发明是指以前没有，后来通过创造实践出来的像数学归纳法啦什么的都是属于发明。答案 17：
发现世界的本质，发明认识世界本质的工具答案 18：
应该是发现的过程吧， 这些定理原理本来就存在.....答案 19：
发明，不用再争了！答案 20：
啧啧答案 21：
个人认为是发现过程分享常识给亲友.
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